Теория категорий оперирует абстрактными структурами, состоящими из объектов и связей между ними (морфизмов). Категория включает в себя класс объектов и наборы морфизмов между каждой парой объектов. Морфизмы могут быть скомпонованы, образуя новые морфизмы. Важно, чтобы эта композиция была ассоциативной. Кроме того, для каждого объекта существует тождественный морфизм, связывающий объект сам с собой.
Изоморфизм в категории – это такой морфизм, для которого существует обратный морфизм. При композиции изоморфных морфизмов в обоих направлениях получаются тождественные морфизмы. Объекты, связанные изоморфизмом, считаются изоморфными. Изоморфизм однозначно определяет свой обратный изоморфизм.
Сумма объектов в категории конструируется с помощью несвязного объединения. Для суммы определяются канонические вложения, сохраняющие происхождение элементов. Также, есть объект Z и пара морфизмов к нему. В этом случае существует единственный морфизм из суммы объектов к объекту Z, делающий диаграмму коммутативной.
Произведение объектов в категории – это объект, получаемый на основе прямого произведения. Для произведения есть канонические проекции, извлекающие элементы из пар. Для произвольного объекта Z и пары морфизмов в объекты, произведение, существует единственный морфизм из Z в произведение, делающий диаграмму коммутативной. Прямое произведение множеств подразумевает создание пар из элементов исходных множеств.
Изображение носит иллюстративный характер
Изоморфизм в категории – это такой морфизм, для которого существует обратный морфизм. При композиции изоморфных морфизмов в обоих направлениях получаются тождественные морфизмы. Объекты, связанные изоморфизмом, считаются изоморфными. Изоморфизм однозначно определяет свой обратный изоморфизм.
Сумма объектов в категории конструируется с помощью несвязного объединения. Для суммы определяются канонические вложения, сохраняющие происхождение элементов. Также, есть объект Z и пара морфизмов к нему. В этом случае существует единственный морфизм из суммы объектов к объекту Z, делающий диаграмму коммутативной.
Произведение объектов в категории – это объект, получаемый на основе прямого произведения. Для произведения есть канонические проекции, извлекающие элементы из пар. Для произвольного объекта Z и пары морфизмов в объекты, произведение, существует единственный морфизм из Z в произведение, делающий диаграмму коммутативной. Прямое произведение множеств подразумевает создание пар из элементов исходных множеств.
