Простые числа – целые числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. 2, 3, 5 – их простейшие примеры. Однако идентификация простых чисел среди очень больших значений становится титанической задачей из-за сложности факторизации. Крупнейшее известное простое число – 2^82,589,933 − 1, состоящее из 24 862 048 цифр. Математики знают, что простых чисел бесконечно много, но их распределение в числовом ряду кажется хаотичным. «Нас интересуют простые числа именно потому, что их бесконечно много, но очень трудно выявить в них какие-либо закономерности», – отмечает Кен Оно из Университета Вирджинии.
Кен Оно, Уильям Крейг из Военно-морской академии США и Ян-Виллем ван Иттерсум из Кёльнского университета (Германия) представили принципиально новый подход к обнаружению простых чисел. Он основан на теории разбиений целых чисел – разделе математики, изучающем, сколькими способами можно представить число в виде суммы положительных целых чисел (например, число 5 можно разбить как 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1). Эта концепция восходит к швейцарскому математику XVIII века Леонарду Эйлеру.
Учёные доказали, что простые числа являются решениями бесконечного числа определённого типа полиномиальных уравнений, основанных на функциях разбиений. Эти уравнения относятся к классу диофантовых уравнений, названных в честь математика III века Диофанта Александрийского. Как сформулировано в статье, «разбиения целых чисел обнаруживают простые числа бесконечно многими естественными способами». Работа предоставляет бесконечно много новых критериев для точного определения множества простых чисел. «Мы описали бесконечно много новых видов критериев для точного определения множества простых чисел... это почти как если бы наша работа дала вам бесконечно много новых определений для простого числа», – поясняет Кен Оно.
Механизм работает так: подставляя целое число (≥2) в конкретные уравнения, составленные из известных функций разбиения (например,
Открытие опубликовано в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences USA (PNAS) и стало финалистом премии за научное совершенство и оригинальность в области физических наук. Катрин Брингманн, математик из Кёльнского университета (ранее сотрудничавшая с Оно и Крейгом, ныне научный руководитель ван Иттерсума, но не участвовавшая в данном исследовании), назвала использование классической функции разбиения для обнаружения простых чисел «замечательным» и «новым». Она считает, что это может вдохновить на поиск скрытых алгебраических и аналитических свойств комбинаторных функций, демонстрирует «богатство связей в математике» и способно стимулировать новые идеи в различных её разделах. Брингманн предложила направления для дальнейших исследований: что ещё могут находить функции разбиения и можно ли распространить основной результат на изучение других типов чисел (составных чисел, значений арифметических функций).
Джордж Эндрюс, математик из Университета штата Пенсильвания, редактировавший статью для PNAS, охарактеризовал результат как «нечто совершенно новое», «нечто, чего не ожидали». Он отметил, что трудно предсказать, «к чему это приведет», и назвал Кена Оно «одним из самых выдающихся математиков нашего времени», не впервые предлагающим новые взгляды на классические проблемы. Идея исследования зародилась из вопроса Роберта Шнайдера, бывшего студента Оно, ныне математика Мичиганского технологического университета.
Открытие не решает знаменитые недоказанные гипотезы о простых числах, такие как гипотеза о бесконечности пар простых чисел-близнецов (пар, отличающихся на 2, например, 5 и 7, 11 и 13) или проблема Гольдбаха (утверждающая, что любое чётное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел). Эти задачи, по словам Оно, «сбивали с толку математиков... поколениями». Однако новый подход представляет собой существенный прогресс в фундаментальном понимании природы простых чисел.
© . Все права защищены.
Изображение носит иллюстративный характер
Кен Оно, Уильям Крейг из Военно-морской академии США и Ян-Виллем ван Иттерсум из Кёльнского университета (Германия) представили принципиально новый подход к обнаружению простых чисел. Он основан на теории разбиений целых чисел – разделе математики, изучающем, сколькими способами можно представить число в виде суммы положительных целых чисел (например, число 5 можно разбить как 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1). Эта концепция восходит к швейцарскому математику XVIII века Леонарду Эйлеру.
Учёные доказали, что простые числа являются решениями бесконечного числа определённого типа полиномиальных уравнений, основанных на функциях разбиений. Эти уравнения относятся к классу диофантовых уравнений, названных в честь математика III века Диофанта Александрийского. Как сформулировано в статье, «разбиения целых чисел обнаруживают простые числа бесконечно многими естественными способами». Работа предоставляет бесконечно много новых критериев для точного определения множества простых чисел. «Мы описали бесконечно много новых видов критериев для точного определения множества простых чисел... это почти как если бы наша работа дала вам бесконечно много новых определений для простого числа», – поясняет Кен Оно.
Механизм работает так: подставляя целое число (≥2) в конкретные уравнения, составленные из известных функций разбиения (например,
M1(n), M2(n), M3(n)), можно проверить его простоту. Пример такого уравнения: (3n³ − 13n² + 18n − 8)M1(n) + (12n² − 120n + 212)M2(n) − 960M3(n) = 0. Исследователи доказали существование бесконечного числа подобных уравнений с постоянными коэффициентами, использующих определённый тип функции разбиения. Это не просто изучение распределения, а прямой способ «выделить все простые числа поодиночке». Открытие опубликовано в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences USA (PNAS) и стало финалистом премии за научное совершенство и оригинальность в области физических наук. Катрин Брингманн, математик из Кёльнского университета (ранее сотрудничавшая с Оно и Крейгом, ныне научный руководитель ван Иттерсума, но не участвовавшая в данном исследовании), назвала использование классической функции разбиения для обнаружения простых чисел «замечательным» и «новым». Она считает, что это может вдохновить на поиск скрытых алгебраических и аналитических свойств комбинаторных функций, демонстрирует «богатство связей в математике» и способно стимулировать новые идеи в различных её разделах. Брингманн предложила направления для дальнейших исследований: что ещё могут находить функции разбиения и можно ли распространить основной результат на изучение других типов чисел (составных чисел, значений арифметических функций).
Джордж Эндрюс, математик из Университета штата Пенсильвания, редактировавший статью для PNAS, охарактеризовал результат как «нечто совершенно новое», «нечто, чего не ожидали». Он отметил, что трудно предсказать, «к чему это приведет», и назвал Кена Оно «одним из самых выдающихся математиков нашего времени», не впервые предлагающим новые взгляды на классические проблемы. Идея исследования зародилась из вопроса Роберта Шнайдера, бывшего студента Оно, ныне математика Мичиганского технологического университета.
Открытие не решает знаменитые недоказанные гипотезы о простых числах, такие как гипотеза о бесконечности пар простых чисел-близнецов (пар, отличающихся на 2, например, 5 и 7, 11 и 13) или проблема Гольдбаха (утверждающая, что любое чётное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел). Эти задачи, по словам Оно, «сбивали с толку математиков... поколениями». Однако новый подход представляет собой существенный прогресс в фундаментальном понимании природы простых чисел.
© . Все права защищены.
